PRODUCTOS NOTABLES

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 1.                   MULTIPLICACION ALGEBRAICA

Dada la expresión algebraica A y B  si multiplica dicha expresión algebraica y se obtiene otra expresión C

A_(x).B_(x)=C_(x)   donde A_(x) y B_(x) se le llama factores C_(x)  se llama productos.

Grados A_{(x)  +} grado B_(x)= grado C_(x)

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Por ejemplo: (x+2).(x-2)  = x²-4

(x+2)  : Esta expresion x tiene exponente 1   entonces A_(x)   tiene 1 grado

(x-2)  :  Esta expresion x tiene exponente 1   entonces B_(x)   tiene 1 grado

Grados A_{(x)  +} grado B_(x)= grado C_(x)

        _{1              +           1         =   2  =} grado C_(x)

Podemos decir la expresion x²-4  tiene grado 2 

Es importante reconocer la tabla de ley de signos matemáticos, tener consideraciones para sumar, restar, multiplicar y dividir números e incógnitas. 

MUY IMPORTANTE : 👇    

Ley de signos matematicos

1.1.              AXIOMAS

Dado los números a y b reales, se cumple que.

Conmutativo: a.b=b.a       

Distributivo: a.(b+c)=a.b+a.c     

                    (b+c).a=b.a+c.a

Ejemplo: 

• 5*(2+3)=5x2+5x3
• (2+9)x5=2x5+9x5
• 10x4=4x10

2.                    PRODUCTO NOTABLE

Son los resultados de ciertas multiplicaciones que adoptan cierta forma particular y evitan que se efectué dicha operación; los principales productos tenemos:

2.1.             PRODUCTO DE MULTIPLICAR BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN

• (x+a).(x+b)= x²+(a+b)x+a.b

Ejemplo:

•                    (x+5).(x-2)= x²+(5-2)x+5.-2 = x²+(3)x-10
•             (5+3).(5+4)= 5x5+(3+4)x5+3x4=72

También:

(x+a).(x+b)(x+c)= x³+(a+b+c)x²+(a.b+b.c+a.c)x+a.b.c

2.2.             TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

•                   (x+y)² = x²+2x.y+y²
•                     (x-y)² = x²-2x.y+y²

Ejemplo:

•                       (x-2)² = x²-2.x.2+2²   = x²-4.x+4
•                       (x+5)² = x²+2.x.5+5²   = x²+10.x+25

2.3.              DIFERENCIA DE CUADRADOS

• (x+y).(x-y) = x²-y²         Importante esta formula

Ejemplo:

(5+1).(5-1) = 5²-1² = 25-1= 24

Colorario: Identidades de Legendre

• -                      (x+y)²+(x-y)²=2.(x²+y²)
• -                      (x+y)²-(x-y)²=2.x.y
• -                      (x+y)⁴-(x-y)⁴=8.x.y.(x²+y²)

2.4.             DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO

•                                             (x+y)³=x³+3x².y+3x.y²+y³
•                                             (x-y)³=x³-3x².y+3x.y²-y³

Ejemplo:

^-                                             (x+1)³=x³+3x².1+3x.1²+1³ = x³+3x²+3x+1

 Colorario:

•                      (x+y)³=x³+y³+3x.y(x+y)
•                       (x-y)³=x³+y³-3x.y(x-y)

2.5.             SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

•                       (x+y)(x²-x.y+y²)=x³+y³
•                      (x-y)(x²+x.y+y²)=x³-y³

Ejemplo:

-          (x+2).(x²-x.2+2²)=x³+2³=x³+8

-          (2x-1).(2²x²+2x.1+1²)=2³x³-1=8x³-1

2.6.             DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO

• (a+b+c)²=a²+b²+c²+2.(a.b+b.c+a.c)

Ejemplo:

-          (x+2).(x²-x.2+2²)=x³+2³=x³+8

2.7.              DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO

• (a+b+c)³=a³+b³+c³+3.(a+b).(a+c).(b+c)
• (a+b+c)³=a³+b³+c³+3. (a+b+c).(a.b+a.c+b.c)-3.a.b.c

3.                   IDENTIDADES ADICIONALES

3.1.             IDENTIDADES DE LAGRANGE

• (a.x+b.y)²+(a.y-b.x)²=(a²+b²)(x²+y²)

4.                   IGUALDADES CONDICIONALES

Si a+b+c=0, entonces se verifican:

•      a²+b²+c²=-2.(a.b+b.c+a.c)
•      a³+b³+c³=3.a.b.c
•     (a.b+b.c+a.c)²= (a.b)²+(b.c)²+(a.c)²
•     (a²+b²+c²)²= 2.(a⁴+b⁴+c⁴)

VER VIDEO DE LA TEORIA: DIFERENCIA DE CUADRADOS, DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO, SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS, DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO, DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO Y IDENTIDADES DE LAGRANGE

Ejercicio Nª 02.-  Si x es un número real que verifica x=3-1/(2.x) Calcule el valor de   

S= (4x⁴+1)/(4x²).

Solución:

S= (4x⁴+1)/(4x²) =(4x⁴/(4x²)   +1/(4x²)) = (1+1/(4x²))   

S=(1+1/(4x²))   …………  1

Sabemos:

x=3-1/(2.x)  -->  x+1/(2.x)  =3    --> ( x+1/(2.x) )² =( 3  )²    -->  x²+2.x.1/(2.x)+1/(2.x)² =9

-->  x²+1 +1/(4.x²) = 9  -->   x² + 1/(4.x²) =8 = S

Podemos decir que S es igual x² + 1/(4.x²)   este valor es igual a S=8

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Ejercicio Nª 03.-