EXPONENTES Y RADICALES 

1.-LEYES DE EXPONENTES

Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.

1.1. POTENCIACIÓN EN R

Es aquella operación matemática donde dados dos elementos llamados base (b) y exponente (n) se calcula un tercer elemento llamado potencia (p).

Notación

bⁿ=p

donde

b: base; b ER

n: exponente; n ez

p: potencia; p ER

1.1.1. Exponente natural

Si n es cualquier entero positivo y x es un núme-

ro real, definimos así:

Xⁿ=  {        x                   ;    si n=1

                 x.x.x.x…..x  ;    si n≥2                                 

                    n veces

Ejemplo:

- 5¹=5

- 3²=9

- x⁵= x.x.x.x.x

-(2/3)² = (2/3).(2/3)

1.1.2. Exponente cero

Si x es cualquier número real no nulo, definimos asi:

                                                   x⁰=1

Ejemplos

*    (1/5)⁰ =1

*   -8⁰=1

1.1.3. Exponente negativo

Si x es el número real no nulo, y n es un entero positivo, entonces definimos así:

 

x^-n =1/ xⁿ = (1/x)ⁿ

Ejemplo

·                      2^-2 = (1/2²) =1/4

·                     (1/2)^-2 = (2)² = 4

Corolario

Si x; y son reales no nulos y n es un entero positivo, entonces (x/y)^-n = (y/x)ⁿ

Ejemplo

* (5/2)^-2= (2/5)²= 4/25

Teoremas:

Si x ; y son números reales y m; n son entero que x^m; xⁿ ; yⁿ existen , entonces

• E₁= x^m. xⁿ =x^m+n
• E₂= x^m/ xⁿ =x^m-n
• E₃= (x.y)ⁿ =xⁿ . yⁿ
• E₄= (x/y)ⁿ =xⁿ / yⁿ   Y≠0
• E₅= (x^m )ⁿ=x^n.m  =(xⁿ )^m

Observación: Si x es un número real no nulo y m; n; p son enteros, entonces.

Potenciacion

 1.2.- RADICACIONES EN R

Es aquella operación matemática que proviene de una potencia con exponente fraccionario. Esta operación se identifica por el símbolo de radical √ .

1.2.1 Definición

Si a y b son números reales no negativos y n un entero positivo (n≥2) o si a y b son negativos y n es un entero positivo impar (n≥3) entonces:

radicaciones

Donde:

-                      √ : Símbolo de radical

-                      N: índice; n € N ^  n≥2

-                      a radicando (cantidad subradical)

-                      b: raíz n-esima

Teoremas

Si m y n son naturales tal que m ≥ 2; n ≥ 2, además x; y son reales tales que  existen,

entonces.

1.2.2.-Exponentes racionales

a) Definicion

Sea m/n un numero racional irreductible y n natural (n≥2). Luego, si x es un número real tal que   definimos así.

Exponentes racionales

1.3.- ECUACIONES EXPONENCIALES

Son aquellas ecuaciones donde al menos una de sus incógnitas aparece en el exponente. Las siguientes ecuaciones exponenciales

-          3^x+3^x+1 +3^x+2 =13

-          X^2x+1 =6x²+2³

-          4^2x+1 = 4^5-x

1.3.1 Resolución de una ecuación exponencial

Para resolver ecuaciones exponenciales, aplicaremos cualquier de los siguientes teoremas

·         ∀ b> 0 ^ b≠1 : b^x=b^y  à x=y

·         X^x=y^y  à x=y

·         ∀ a.b≠ 0 : a^x=b^y à x=y=0

Ejemplo

 

·         4^2x+1 =4^5-x

EJERCICIO PROPUESTOS 

EJERCICIOS  Nª01 

 EJERCICIOS  Nª02: Simplifique para n pertence a Z +  

 EJERCICIOS  Nª03:  Hallar el valor de A+B

Solucion:

• Primero hallar el valor de A, elevando a la cubica la expresion A 
• Segundo hallar el valor de B

 EJERCICIOS  Nª05:  Hallar el valor de S