DESIGUALDADES

VIDEO EXPLICATIVO DE LA TEORIA DESIGUALDADES

1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Es una comparación entre dos números reales mediante símbolos de desigualdad: >,<,≤,≥

Si a ,b ϵ a Reales , se tiene lo siguiente :

a > b --> “ a mayor que b”

a < b --> “ a menor que b”

a ≤ b --> “ a menor que b”

a ≥ b --> “ a mayor que b”

Definiremos los signos >,<:

Dado a; b ϵ a los reales

a > b si y solo si a-b es positivo

a < b si solo si b-a es positivo

Definiremos los signos ≤,≥

Dado a; b ϵ a los reales

a ≤ b si solo si a < b o a=b

a ≥ b si y solo si a > b o a=b

2. PROPIEDADES

Dado a;b;c;d ϵ a los Reales

a) Si a > 0 y b > 0 , entonces a+b > 0

b) Si a > 0 y b > 0 , entonces a.b > 0

c) Si a < b y b < c , entonces a < c

d) Si a < b , entonces a+c < b+c

e) Si a < b y c < d, entonces a+c < d+b

f) Si a < b y c > 0 , entonces a.c < b.c

g) Si a < b y c < 0 , entonces a.c > b.c

3. RECTA NUMERICA REAL

Es aquella recta horizontal donde se encuentra numeradas todos los números reales positivos y negativos e incluso el cero.

4. INTERVALOS

Sea I un sub conjunto de Reales (I C R). Decimos que I es un intervalo de números reales donde están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales), llamados extremos inferior y extremo superior.

Nota: los símbolos + ꚙ y - ꚙ se llaman ideales.

4.1. INTERVALOS ACOTADOS

Intervalos con extremos finitos pueden ser abiertos, cerrados o semi abiertos.

- <a; b> = {x ϵ R / a < x < b } : Es un conjuntos de números x que satisface a la desigualdad (intervalos abiertos).

- [a; b] = {x ϵ R / a ≤ x ≤ b } : Es un intervalo cerrado donde x pertenece a hasta b, donde a y b también pertenece a x

- <a; b] = {x ϵ R / a < x ≤ b } Es un intervalo semiabierto por la izquierda donde x pertence entre a y b pero no lo toma el valor de a.

- [a; b> = {x ϵ R / a ≤ x < b } Es un intervalo semiabierto por la derecha donde x pertenece entre a y b pero no lo toma el valor de b.

4.2. INTERVALOS NO ACOTADOS

Es aquel intervalo donde al menos un extremo es el símbolo + ꚙ o - ꚙ , tenemos los siguientes:

<a; + ꚙ > = {x ϵ R / x > a }

< - ꚙ ; b ] = {x ϵ R / x < b }

[a; + ꚙ > = {x ϵ R / x ≥ a }

< - ꚙ ; b ] = {x ϵ R / x ≤ b }

Es aquel intervalo donde al menos un extremo es el símbolo + ꚙ o - ꚙ , tenemos los siguientes:

5. OPERACIONES CON INTERVALOS

Se A y B intervalos. Se define lo siguiente

Unión

A U B = {x ϵ R / x ϵ A v x ϵ B}

Intersección

A ᴖ B = {x ϵ R / x ϵ A ˄ x ϵ B}

Diferencia

A - B = {x ϵ R / x ϵ A ˄ x no ϵ B}

Complemento

A^c = A´= {x ϵ R / x no ϵ B}

6. TEOREMAS ADICIONALES

Sea a; b; c; d; x pertenece a los reales

a.- Ɐ a ϵ R : a²≥ 0

b.- Ɐ a;b;c;d ϵ R⁺/ a< b ˄ c< d entonces ac < bd

c.- ab > 0 si solo si ( a > 0 ˄ b > 0) v ( a < 0 ˄ b < 0)

d.- ab < 0 si solo si ( a > 0 ˄ b < 0) v ( a < 0 ˄ b > 0)

e.- a > 0 si solo si 1/a > 0

f.- a < 0 si solo si 1/a < 0

g.- Si a y b tiene el mismo signo, entonces

a < x < b si solo si 1/a > 1/x >1/b

h.- a+1/a ≥ 2 ; Ɐ a ϵ R⁺

i.- a+1/a ≤ 2 ; Ɐ a ϵ R^-

j.- a²+b² ≥ 2a.b ; Ɐ a;b ϵ R

EJERCICIO Nª 01

Dado el conjunto A= { (x-2)/(x-4) ϵ Z+ / 5 ≤ x < 8 }

Hallar el cardinal

Solución:

Sabemos que el cardinal es el rango por condicion pertence a los enteros positivos
El dominio es el valor de x , tenemos que esta entre el valor de 5 a 8.
En el intervalo debemos hacer un artificio para que aparezca el rango y tener el rango de este.
El cardinal es el numero de elementos de un conjunto .