ECUACIONES POLINOMICAS
Notación
A(x; y; ...; z) = B(x; y;... z)
primer miembro segundo miembro
donde:
A y B: expresiones matemáticas
x; y; ...; z: incógnitas
Ejemplos
• 5x+4=3x - 6
• x²+5x=88
1.1.-SOLUCION DE UNA ECUACION
La solución de una ecuación es una
colección de valores (de las incógnitas) que, al ser reemplazadas en la
ecuación, transforman a esta en una proposición verdadera.
Ejemplo
Sea la ecuación x² = x
Si x=0 --> 0=0 (V)
Si x=1 --> 1=1 (V)
La solución de esta ecuación seria 0, 1
1.2.-CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACION (CS)
Ejemplo
Sea la ecuación en x
(x-a)3.(c-b)5.(x-c)7 =0
Si x= a → 0=0
Si x= b →
0=0
Si x= c → 0=0
Luego, a, b y c serán soluciones, las cuales con CS-{a, b,c).
1.3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Las ecuaciones de acuerdo al
número de soluciones se pueden clasificar de la siguiente manera.
1.3.1. Ecuaciones compatibles
Son aquellas que poseen al menos
una solución. Estas pueden ser determinadas o indeterminadas
a.-Determinadas
Una ecuación es compatible
determinadas es posible determinar la cantidad de sus
soluciones.
b.
Indeterminadas
Una ecuación es compatible
indeterminada si no es posible determinar la cantidad de sus soluciones
1.3.2. Ecuaciones incompatibles
(inconsistentes)
Son aquellas ecuaciones que no
poseen soluciones; su conjunto solución es CS-{ø}
Ejemplos
1. X+3=8 tiene CS={5} es una
ecuación compatible determinada.
2. (x - 1)2=X2
- 2x+1 tiene CS= C es una ecuación compatible indeterminada (tiene infinitas
soluciones).
3. x+7=x+2 tiene CS-{ø}. es una ecuación incompatible (no tiene solución).
2. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA
Sea la ecuación Ax=B, de
incógnita x.
Caso 1
Si A≠0 ; x=B/A
→ CS-{ B/A}
La ecuación posee solución única.
Por lo tanto, la ecuación es compatible determinada.
Caso 2.
Si A=0 ^ B=0: Ox=0 → CS= - {C}
La ecuación posee infinitas
soluciones. Por lo tanto, la ecuación es indeterminada.
Caso 3
Si A=0 ^ B ≠ 0:
Ox=B → CS-{ ø }.
Por lo tanto, la ecuación es incompatible.
3. ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos o más ecuaciones son
equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo
E1=x/2+2.x/3 =14 →
CS={1;2}
E2=5x-36=2x → CS={1;2} E1 y E2 son ecuaciones equivalentes.
4. ECUACIÓN LINEAL
Son aquellas ecuaciones
polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:
P(x)=a.x+b=0 a≠0
Resolución
ax+b=0 → ax=-b como a≠0 → x=- b/a
→
CS ={-b/a}
5. ECUACIÓN CUADRÁTICA
Forma general P(x)=ax2+bx+c=0; a≠0
Resolución: Por factorización
6x2 - 17x+12=0. →
(3x-4)(2x-3)=0 →
(3x -4)=0 V (2x-3=0)
CS= { 4/3; 3/2}
Por fórmula general
Sea P(x)=ax2+bx+c=0; a≠0
Podemos demostrar que las raíces de esta ecuación vienen dadas por:
5.1. ANÁLISIS DE SOLUCIONES
Sea la ecuación cuadrática
P(x)=ax2+bx+c=0; a≠0 de coeficientes reales.
Definimos su discriminante Δ así:
Δ =b²-4ac
Entonces las raíces serán
X1 =-b +√ Δ X2 =-b
-√ Δ
2a 2a
Caso 1
Si Δ =0, las raíces son iguales
(x1=x2) y reales. La ecuación posee solución única. Además,
ax2+bx+c se le llama un trinomio cuadrado perfecto.
Caso 2
Si Δ > 0, las raíces son
diferentes (x1 ≠ x2) La ecuación presenta dos soluciones
Caso 3
Si Δ <0, las raíces son
complejas no reales conjugadas (x1=u+vi → X2=u-vi); v≠0.
Propiedades
Sea la ecuación cuadrática ax²+bx+c=0;
a≠0
de raíces x1 y x2
a. Suma
de raíces
x1 + x₂ = - b/a
b.
Producto de raíces
x1.x₂ = c/a
c.
Diferencia de raíces
(x1 + x2)²
– (x1 - x2) ² = 4x1.x2
d.
Reconstrucción de la ecuación
x² - (x1 +x₂).x + x1.x2=0
Definiciones
La ecuación ax²+bx+c=0; a≠0, de
raíces x1 y x2 no nulas, posee lo siguiente:
-
raíces
simétricas → X1+x2=0
-
raíces
recíprocas → X1 X2=1
Teorema
Si las ecuaciones cuadráticas
ax²+bx+c=0; abc≠0
mx2+nx+p=0; mnp ≠0
poseen igual conjunto solución, se cumple
a/m=b/n=c/p
