INTRODUCCION Y FORMULAS DE DERIVACION

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Sea u y v funciones en x además k, a y b una constante.

1. SUMA Y RESTA DE DERIVACIONES:

F(x)= u+v à F’(x)= u’+v’

F(x)= u-v à F’(x)= u’-v’

2. PRODUCTO Y COCIENTE

F(x)= u.v à F’(x)= u’ v + v’u

3. FORMA DE DERIVACIÓN SIMPLE Y COMPUESTAS

EJEMPLO DE DERIVACION SIMPLE:

Función constante:

Función simple: f(x)=K

Derivada : f´(x) = 0

Ejemplo:

1.- f(x) = 20 à f´(x) = 0

2.- f(x) = -5 à f´(x) = 0

Función x :

Función simple: f(x)=x

Derivada : f´(x) = 1

Ejemplo:

1.- f(x) = 2x à f´(x) = 2x^1-1=2x⁰=2

2.- f(x) = 20x à f´(x) = 20x^1-1=20x⁰=20

Función Lineal:

Función simple: f(x)=ax+b

Derivada : f´(x) = a

Ejemplo:

1.- f(x) = -9x+5 à f´(x) = -9x^1-1+0 = -9x⁰+0 = -9

2.- f(x) = 10x+2à f´(x) = -10x^1-1+0 = -10x⁰+0 = -10

Función u(x) y v(x) :

Función simple: f(x)=u(x)+v(x)

Derivada : f´(x) = u´(x)+v´(x)

Ejemplo:

1.- f(x) = (-9x+5)+(10x+2) à f´(x) = -9+10 =1

- Función u(x) :

Función simple: f(x)=K.u(x)

Derivada : f´(x) = K.u´(x)

Ejemplo:

1.- f(x) = 20x(5x+2)à f´(x) = 20x(5+0) = 100

Función u(x) y v(x) :

Función simple: f(x)=u(x).v(x)

Derivada : f´(x) = u´(x).v(x)+ u(x).v´(x)

Ejemplo:

1.- f(x) = (-9x+5)x(10x+2) à f´(x) = (-9 +0).(10x+2)+(-9x+5).(10+0) = -9.(10X+2)+(-9x+5).10 =-180.X+32

Función u(x)/ v(x) :

Función simple: f(x)= u(x)/v(x)

Derivada : f´(x) = (u´(x).v(x)+ u(x).v´(x))

v²(x)

Ejemplo:

1.- f(x) = (2X)/(10x+2) à f´(x) = [2.(10X+2)+(2.X).(10) ] / (10x+2)²

f´(x) =[ 20.X+4+20.X ] / (10x+2)²=[ 40.X+4 ] / (10x+2)²

Función exponencial :

Función simple: f(x)= xⁿ

Derivada : f´(x) = n.x^n-1

Ejemplo:

1.- f(x) = 10X⁵à f´(x) = 10*5 X^5-1 = 50 X⁴

Función logaritmo neperiano :

Función simple: f(x)= lnx

Derivada : f´(x) = 1/x

Ejemplo:

1.- f(x) = 20*ln(x²+1)à f´(x) = 20*1/(x²+1).( x²+1)’= 20/( 2X) = 10/X

Función logaritmo:

Función simple: f(x)= log_aX

Derivada : f´(x) = 1/X*log_ae

Ejemplo:

1.- f(x) = log₁₀(x³)à f´(x) = 1/X³*log₁₀e* (3.X²) = 3.X²/X³. log₁₀e =3/X¹* log₁₀e

Función exponencial e :

Función simple: f(x)= e^x

Derivada : f´(x) = e^x

Ejemplo:

1.- f(x) = e^20xà f´(x) = e^20x(20x)’= e^20x(20) = 20.e^20x

Función exponencial:

Función simple: f(x)= a^x

Derivada : f´(x) = a^x

Ejemplo:

1.- f(x) = a^2xà f´(x) = a^2x(2x)’= e^2x(2) = 2.e^2x

Función seno:

Función simple: f(x)= senx

Derivada : f´(x) = cosx

Ejemplo:

f(x) = sen(X²+X)à f´(x) = cos(X²+X)*( X²+X)’ = cos(X²+X)*( 2.X+1)

Función cos:

Función simple: f(x)= cosx

Derivada : f´(x) = -senx

Ejemplo:

f(x) = cos(X²+2)à f´(x) = -sen(X²+2)*( X²+2)’ = -sen(X²+2)*(2.x) =-2.Xsen(X²+2)

Función cos:

Función simple: f(x)= cosx

Derivada : f´(x) = -senx

Ejemplo:

f(x) = cos(X²+2)à f´(x) = -sen(X²+2)*( X²+2)’ = -sen(X²+2)*(2.x) =-2.Xsen(X²+2)

Ejemplo de derivación compuesto:

1. F(x)= 2.(5x²+4) + 20 à F’(x)= 2.(5x²+4)’ + 20’ à F’(x)=2.(10x+0)+0 = 20x

2. F(x)= (2x³+x⁵)⁶ à F’(x)= 6.(2x³+x⁵)^6-1. (2x³+x⁵)’

F’(x)= 6.(2x³+x⁵)^6-1. (6x^3-1+5x^5-1) à F’(x)= 6.(2x³+x⁵)⁵. (6x²+5x⁴)

3. F(x)= e^(x²+x³) à F’(x)= e⁽^x²+x³) .(x²+x³)’ = F’(x)= e⁽^x²+x³) .(2x¹+3x²)

4. F(x)=ln (x³+e^x² )à F’(x)=1/(x³+e^x² ).(x³+e^x² )’ à F’(x)=1/(x³+e^x² ).(2x^3-1+e^x² .(x²)’)

F’(x)=1/(x³+e^x² ).(2x²+e^x² .(2x¹))

EJERCICIO N° 01:

Si tenemos f(x) = x⁹, derive

Solución:

Usaremos la formula derivada simple F’(x)= nx^n-1

VIDEO EXPLICATIVO DEL EJERCICIO Nª 01

EJERCICIO N° 02:

Si tenemos f(x) = 1/x⁵, derive

Solución:

La función F(x) le podemos simplificarlo de esta manera f(x)= x^-5 ver tema de productos notables y expones y radicales.
Usaremos la formula derivada simple F’(x)= nx^n-1

VIDEO EXPLICATIVO DEL EJERCICIO Nª 02

EJERCICIO N° 03:

Si tenemos f(x) = (x²+1)(5x+2), derive

Solución:

Usaremos la derivada compuesta sea la función F(x)= u.v à la derivada de esta función es F’(x)= u’ v - v’u
Tener en cuenta la derivada de (x²+1) es igual 2x
Tener en cuenta la derivada de (5x+2) es igual 5