FUNCIÓN DE GRAFICA BÁSICA

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1. DEFINICIÓN

La función esta dado mediante una función f(x) donde“x” se de denomina dominio y f(x) se le denomina rango.

1.1. RELACION.

Es la correspondencia entre los elementos de un conjunto A con los elementos del conjunto B.
Podemos decir que la relación de A en B es equivalente a un par de ordenados (a;b) de producto de cartesianos.

Ejemplo 1:

Sea los conjuntos A= {1;2;3;4} , B= {u;d;t;c} y la relación de A en B, definida de las siguiente manera A cada número le corresponde la primera letra de su nombre “. La relación de f es

Conjunto A y B definido por una relacion

Luego tenemos la función f(x) = {(1;u),(2;d),(3;t);(4;c)}

Observamos que cada elemento de conjunto A le corresponde a un único elemento de B
Se le denota a esta función f: A à B3
Se lee función f de A en B
A es el conjunto de partida y B el es conjunto de llegada.

Ejemplo 2:

Se los conjuntos X= {3;4;6} y Y = {0;1;2} y la relación R definida por (x;y) ƹ R ↔ (x+y) es impar y mayor que 3.

La relación R: X à Y es

SI X=3, y = 2 entonces x+y = 5 es impar y mayor a 3 (VERDADERO) RELACION SERA : (3;2)

SI X=3, y = 1 entonces x+y = 4 es par y mayor a 3 (FALSO)

SI X=3, y = 0 entonces x+y = 3 es impar y mayor a 3 (FALSO)

SI X=4, y = 2 entonces x+y = 6 es par y mayor a 3 (FALSO)

SI X=4, y = 1 entonces x+y = 5 es impar y mayor a 3 (VERDADERO) RELACION SERA : (4;1)

SI X=4, y = 0 entonces x+y = 4 es impar y mayor a 3 (FALSO)

SI X=6 y = 2 entonces x+y = 8 es par y mayor a 3 (FALSO)

SI X=6 y = 1 entonces x+y = 7 es impar y mayor a 3 (VERDADERO)

SI X=6 y = 0 entonces x+y = 6 es par y mayor a 3 (FALSO)

Luego R= { (3;2),(4;1),(6;1)}

1.2.DEFINICIÓN DE FUNCION MEDIANTE CONJUNTO DE ELEMENTOS

La relación f es una función de X en Y si solo si en cada par (x;y) pertenece a f a la primera componente x le corresponde a una sola imagen en Y
Cada x le corresponde un único y

Fes funcion porque un elemento de X tiene un elemento de Y, ademas Y puede tener un elemento sin una relacion con X eso es el caso con el cero.

G es una funcion dominio tiene una representacion en el rango

H es una funcio,un elemento de rango de Y puede tener uno a mas relacion con solo elementos de X

La funcion F no es funcion porque el elemento 9 tiene dos rangos diferentes

Video explicativodefinicion de la funcion con conjunto de elementos

1.3. CONDICIONES DE UNICIDAD

Sea f: X à Y una función

Si: (x;y) ƹ f ^ ( x;z) ƹ f, entonces y= z

Ejemplo:

Calcule el valor de a.b si la relación

F= = { (2;5),(-1;3),(2;2a-b),(-1;b-a),(a²+b²;a)} es una función.

Solución:

Como f es una función

5= 2a-b ^ 3=b-a à a = 8 y b= 11 hallar a.b = 88

Video explicativo de funcion unicidad

1.4. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

Sea una función f: X à Y
Se le denomina de la función dominio al conjunto de la primera componente y se le denota Dom(f)
El conjunto formado por el segundo componente de pares ordenados (x;y) se le denomina Rango de la función Y y se le denota Ran(f)

Dom(f) = {x ε X/ ꓱ y ε Y ^ (x;y) ε f}

Ran(f) = {y ε Y/ (x;y) ε f ^ x ε X}

Dominio y Rango de una funcion : Domf = { 1,2,3} y Ranf = { 1;5;9}

Se tiene a la f = { (1;1),(2;5),(3;9)}

Luego Domf = { 1,2,3} y Ranf = { 1;5;9}

Video explicativo de dominio y rango de la funcion

2. CALCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

Sea f: Xà Y una función real de variable real cuyo dominio no se conoce y su regla de correspondencia si esta dada. Si (x;y) ε f, entonces el dominio y rango se calcula asi:

DOMINIO

Dom(f) = { x ε X C R / y = f(x) existe en R}

Ran(f) = { y ε Y C R / existe x ε Dom(f) ^ y=f(x)}

Ejemplo:

Solución:

Solucion parte 1 dominio de f(x)

Solucion parte 2 rango de f(x)

Ejercicio de funcion hallar dominio y rango

2.1. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

Si f es una funcion real de variable real entonces la grafica f es el conjunto de puntos (x;y) en R.R tal que (x;y) es un par ordenado de f , se le denota Graf(f) :

Graf(f) = { (x;y) ε R²/ y=f(x) ^ x ε dom(f) }

Ejemplo:

Graficar la funcion f(x) =6x-x² donde x ε [0;8]

Solución:

Identificamos el dominio de la función que es [0 ; 8]
Realizaremos la tabulación de x= 1 al x= 8

Tabulacion de una funcion cuadratica

Video parte 1 : graficar la ecuacion cuadratica segun el dominio

Video parte 2 : graficar la ecuacion cuadratica segun el dominio

2.2. TEOREMA

Sea "f" una función de variable real, si solo si, se cumple que cualquier recta vertical corta a un solo punto; entonces la grafica es una funcion.

F(x) es una función porque la recta vertical corta solo un punto

F(x) no es una función porque la recta vertical corta en dos puntos

Video explicativo de la funcion mediante la grafica

2. FUNCION ELEMENTALES

2.1. FUNCION CONSTANTE: F(x) = K

Es la función cuya regla de correspondencia es F(x) = K, K ε R. Su dominio es R y su rango es (k). Su grafica es una recta horizontal.

Grafica Constante F(x) = K

2.2. FUNCION IDENTIDAD: F(x) = X

Es la función denotada por L, cuya regla de correspondencia es F(x) = x. Su dominio es R y su rango es R . Es una recta Oblicua que pasa por el origen.

Grafica Identidad F(x) = x

Video Explicativo de la funcion lineal e identidad

2.3. FUNCION LINEAL: Y = mx+b

Es una recta y su regla es lo siguiente:

Y= mx+b ; m≠0 ꓥ b ε R donde dominio es real y rango pertenece a los reales, cuyo pendiente es “m” y pasa por el punto tiene la siguiente coordenada (0:b).