RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UNANGULO AGUDO

1.- DEFINICION:

Se denomina razón a un cociente entre sus longitudes de un lado de un triángulo rectángulo recto respecto a su ángulo agudo. estudiaremos el estudio de las razones trigonométricas como : seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.

Consideramos un triángulo ABC.

Donde:

a : cateto opuesto del Angulo teta
b : cateto adyacente del Angulo teta
c : hipotenusa
0< θ <90°

Teorema de Pitágoras: a² +b²=c²

Respecto al Angulo teta definiremos el seno, coseno, tangente , cotangente , secante y cosecante de un Angulo agudo según el triángulo rectángulo que tenemos:

Sen(θ)= a/c cot(θ)= b/a

Cos(θ)= b/c Sec(θ)= c/b

Tan(θ)= a/b Csc(θ)= c/a

2. RAZONES TRIGONOMETRICAS INVERSA

Tenemos un ángulo agudo θ de un triángulo rectángulo entonces podemos decir:

Sen(θ) = 1/ csc(θ) à Sen(θ). Csc(θ)=1

Cos(θ) = 1/ Sec(θ) à Cos(θ). Sec(θ)=1

Tan(θ) = 1/ Cot(θ) à Tan(θ). Cot(θ)=1

3. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO COMPLEMENTARIO

Tenemos los ángulos θ y α, tal cual se cumple que θ + α = 90ª entonces se cumple lo siguiente.

Sen(θ)= Sen(90- θ) = Cos(α )à Sen(θ)= Cos(α)

cos(θ)= cos(90- θ) = sen(α )à cos(θ)= sen(α)

tan(θ)= tan(90- θ) = cot(α )à tan(θ)= cot(α)

cot(θ)= cot(90- θ) = tan(α )à cot(θ)= tan(α)

sec(θ)= sec(90- θ) = csc(α )à sec(θ)= csc(α)

cscθ)= csc(90- θ) = sec(α )à csc(θ)= sec(α)

4. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO NOTABLE

Tenemos los siguientes triángulos notables:

Triangulo notable de 37ª y 53ª

Triangulo notable de 45ª y 45ª

Triangulo notable de 60ª y 30ª

4.1. ANGULO NOTABLE 37ª y 53ª

4.2. ANGULO NOTABLE 30ºy 60º

RAZONES TRIGONOMETRICAS TRIANGULO NOTABLE

4.3. ANGULO NOTABLE 45ºy 45º

5. RESOLUCION DE TRIANGULO RECTANGULOS NOTABLES

5.1. CASO 1 :

Dato : a y θ

Incognitas: x;y

Del Grafico:

Sen (θ)= x/a à x = a. Sen (θ)

Cos (θ)= y/a à y = a. Cos (θ)

RESOLUCION DE TRIANGULO RECTANGULOS NOTABLES

5.2. CASO 2 :

Dato : a y θ

Incognitas: x;y

Del Grafico:

Tan (θ)= x/a à x = a. Tan (θ)

Sec (θ)= y/a à y = a. Sec (θ)

5.3. CASO 2 :

Dato : a y θ

Incognitas: x;y

Del Grafico:

Cot (θ)= x/a à x = a. Cot (θ)

Csc (θ)= y/a à y = a. Csc (θ)

6. ANGULOS VERTICALES

Son angulos agudos formados por un plano donde tenemos una linea horizontal y una linea visual formando un angulo agudo.

6.1. ANGULOS DE ELEVACION

Si una persona ve un objeto hacia arriba , el angulo agudo medido desde la linea horizontal con la linea visual se llama angulo de elevacion

6.2. ANGULOS DE DEPRESION

Si una persona ve un objeto hacia arriba el angulo formado por la linea de visual y la linea horizontal se llama angulo de depresion.

NOTA : Formula para hallar el area de un triangulo con respecto a sus dos lados y el angulo que forma de estos lados.

Ejercicio 1:

En el traiangulo rectangulo mostrado, calcular el valor de tanθ+cotθ

Clic Descargar Solucion:

Por teorema de pitagora tenemos x²+(x-1)²= (x+1)²
Resolviendo nos sale x vale 4
El valor de E= x/(x-1)+(x-1)/x reemplanzando el valor x= 4 entonces E debe salir un valor igual a 25/12

Ejercicio 2:

Si ABCD es un cuadradado y EG=ABx6

Halle tanα +cotα = E

Sol:

Por dato la relacion de AB y EG es como 1 es a 6
Llamamos el lado AB un valor de "a" y el lado EG un valor de 6a
El angulo EAC tiene un valor de α por ser un cuadrado ABCD y sus angulos interiores son 90°
El lado EC tiene un valor de a.tanα
Angulo BGE es α porque la recta AB es paralelo a la recta EG
El lado DG tiene un valor de a.cotα
Sabemos que el lado EG es igual a 6a igualando el valor de a.tanα +a+a.cotα de esta manera 6a=a.tanα +a+a.cotα despejando tenemos El valor de E= tan α+ cot α = 5

clic Descargar Ejercicio 3:

Del grafico mostrado, hallar tan(θ)

Solucion:

Trazamos un triangulo COB para formar un triangulo notable de 37° y 53| como se muestra en la figura
El triangulo notable de este triangulo el lado OC= 4k , lado CO = 3k y por dato tenemos el lado CB que vale 5 unidades. Por la cual obtenermos los catetos de este triangulo como se muetsra en la figura.
Observemos el triangulo notable de AOC, el lado OC mide 4 y lado OA mide 9, nos pide hallar la tangente de teta = 4/9.

Ejercicio 4:

En el grafico mostrado cot(θ) =24/7. Calcule el perimetro de dicho triangulo

Solucion:

Por dato cot(θ) =24/7 eso quiere decir que el lado AB= 7k y el lado BC= 24k
Por teorema de pitagoras podemos hallar K , K= 2
Nos pides hallar el perimetro de este triangulo que es la suma de sus lados 7k+24k+50 donde k= 2 .

Ejercicio 5:

Hallar el valor del area sobreada que se muestra en funcion al angulo, sabiendo lado BC= 2

Solucion:

Nos pide calcular el area de la region sombreada en fucnion al angulo beta y el lado BC
Hallamos el lado BD que es igual 2xcscB =BD
El angulo ABD es igual a beta como ya tenemos el lado BD hallaremos el lado AD
AD= 2.senBxtanB
Podemos hallar el area de este triangulo somdreado que es igual lado por base entre dos
AREA= ADxBD/2