ANALISIS VECTORIAL

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VIDEO EXPLICATIVIO DE ANALISIS VECTORIAL PARTE 1

1. ¿QUÉ ES UN VECTOR?

Es un elemento matemático que permite representar las magnitudes vectoriales.

La magnitud vectorial se empresa mediante:

- Un numero

- Unidad de medida

- Una dirección

Notación:

Ā : se le vector de A

2. REPRESENTACION DE UN VECTOR: MEDIANTE FORMA GRAFICA

Solo trabajaremos y representaremos un vector en plano X y Y

Representacion grafica de un vector A

2.1. ELEMENTOS DE UN VECTOR

I) Modulo ( lĀl )

- - Llamado de magnitud del vector

- - Representa el tamaño del vector

- - Se representa con un número positivo y con su respectiva unidad.

Ejemplo: lĀl = 20 un

II) Dirección ( θ )

- Se forma con una semirrecta paralela al eje X e intercepta al vector en sentido anti horario

Vector A con direccion mediante el angulo teta

2.2. REPRESENTACION EN FORMA POLAR

- - El vector se representa mediante un par de ordenadas

- - La primera componente es el modulo del vector

- - La segunda componente es la dirección

Ā = ( lAl ; θ)

Representacion vectorial en forma polar

2.2.1. VECTORES COLINEALES Y PARALELOS

- - Son coloniales si se ubicas en la misma línea de acción

- - Son paralelas si se ubican sobre líneas de acción paralelas

Vectores Colineales y paralelos

NOTA: Ā1 y Ā2 son colineales además Ā1 y Ā3 son paralelos

Vectores con igual direccion y direccion opuesta

2.2.2. VECTORES IGUALES

Dos vectores ( Ā1 y Ā2 ) son iguales si presentan el mismo modulo y la misma dirección .

Si Ā1 = Ā2 entonces: l Ā1 l = l Ā2 l y θ1 = θ2

Grafica representativa de dos vectores iguales

2.2.3. VECTORES OPUESTO

- - Los vectores son opuesto ( Ā1 y Ā2 ) si presentan igual modulo

- - Se ubican en la misma recta o son paralelos

- - Tiene orientación contraria.

Vectores opuestos

Si Ā1 es el opuesto de Ā2, entonces se cumple:

Ā1 = - Ā2

lĀ1l = lĀ2l y θb – θa = 180°

2.2.4 VECTOR UNITARIO (ū)

- - Se define a este vector unitario de Ā en la cual se denota mediante (ū).

- - Presenta la misma dirección Ā y su módulo es la unidad.

Vector unitario de A

Propiedad:

- - Sea Ā1 y Ā2 los vectores que presentan la misma dirección, podemos decir que comparten el mismo vector unitario

- - Ambos vectores son directamente proporcionales a sus módulos.

VIDEO EXPLICATIVIO DE ANALISIS VECTORIAL PARTE 2

2.3. REPRESENTACION ANALITICA DE UN VECTOR

- - Existe 2 componentes de vectores Ay y Ax.

- - Para determinar se trazan perpendiculares desde el origen y extremo del vector hacia los ejes X y Y, como se muestra en la figura.

- - Sobre las proyecciones en el eje X y Y se trazan los vectores Āy y Āx

Representacion analitica de un vector

Ā = (Āx ; Āy) = Āx + Āy

Sabemos que los vectores unitarios son:

Ax à î =(1;0)

Ay à ĵ = (0;1) entonces tenemos :

Ā = Āx. î + Āy. ĵ

3. VECTOR RESULTANTE (Ṝ)

Si tenemos los vectores Ā 1 y Ā 2, definimos el vector resultante (Ṝ) a un vector que reemplaza a los dos vectores Ā 1 y Ā 2 produciendo el mismo efecto físico.

3.1. METODO DEL POLIGONO

Tenemos los vectores Ā 1, Ā 2 y Ā 3 con su respectivo modulo y dirección, tenemos trasladar estos vectores uno a continuación de otro

Vectores representativos

Una vez trasladado los vectores unimos el origen del primer vector con el último extremo del vector.

Sumatoria de vectores

Vemos de color azul el vector resultante de color azul que reemplaza a los tres vectores Ā 1, Ā 2 y Ā 3 por tener el mismo efecto físico.

Resultante vector R es igual a la suma de los vectores Ax

3.2. METODO ANALITICO

Es un método algebraico que consiste que cada vector se descompone (pares ordenados), tal como se muestra a continuación en la gráfica.

Vector Analitico

Representaremos los vectores en su forma analítica y luego súmanos.

Ā 1 = (Ā 1x ; Ā 1y)

Ā 2 = (Ā 2x ; Ā 2y)

Ā 3 = (Ā 3x ; Ā 3y)

Ā 1 + Ā 2 + Ā 3 = (Ā 1x + Ā 2x + Ā 3x ; Ā 1y + Ā 2y + Ā 3y)

Ā 1 + Ā 2 + Ā 3 = ( Ṝx ; Ṝy)

3.3. METODO DEL PARALELOGRAMO

Se emplea cuando se va determinar la resultante entre dos vectores y se conoce el ángulo formado entre ellos, sea los vectores Ā 1 y Ā 2.

Metodo paralelogramo

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EJERCICIO PROPUESTOS

EJERCICIO N° 01: Dados los vectores (ṝ y ṽ) representados, determine mxn, si se sabe que son iguales.

Solucion:

Según la condición el vector ṝ y ṽ son iguales entonces tiene el mismo modulo y dirección.

ṽy = lṽl.seno(37°) ĵ= 15x3/5x(0;-1) à ṽy = 9x(0;-1) à ṽy = (0;-9)

ṽx = lṽl.seno(37°) î= 15x4/5x(1;0) à ṽx = 12x(1;0) à ṽx = (12;0)

ṝ = ṽ = ṽx + ṽy = (0;-9) +(12;0) =(12;-9)

Según este vector ṝ = (12;-9) podemos indicar de acuerdo a la gráfica superior n y m son número positivos por la cual el vector ṝ realizamos las proyección al eje X y Y, en la cual se tiene magnitudes al eje X à m= 9 y al eje Yà n=12

Nos pide caclcular el producto mxn = 9x12= 108

VIDEO EXOLICATIVO DEL EJERCICIO Nª01

EJERCICIO N° 02: Se tiene un conjunto de vectores A, B y C sobre una región formada con celdas de lado igual 1u. Determine el vector 2A-B-C/2.