FUNCIONES ESPECIALES

VIDEO EXPLICATIVO DE FUNCIONES ESPECIALES PARTE 1

Esta función especial se considera:

- Función signo

- Función máximo entero

- Función función monótonas

- Función par

- Función impar

- Función periódica

1. FUNCION SIGNO

Se denota de la siguiente manera sgn cuyo dominio es los reales.

-1 ; x < 0

Sgn (x) = 0 ; x = 0

+ 1 ; x > 0

Donde:

Sgn(x) se lee signo de x, además su rango es {-1;0;1}

Gráficamente:

2. FUNCION MAXIMO ENTERO

Es la función denotada por ‖ ‖, cuyo dominio es R y su regla de correspondencia es f(x)=‖x‖, donde ‖x‖ es el mayor entero no mayor que x.

‖x‖=n si solo si n ≤ x < n+1 , n pertenece a enteros .

El rango de la función es Z cuando.

- -2 ≤ x < -1 si solo si ‖x‖ = -2

- -1 ≤ x < 0 si solo si ‖x‖ = -1

- 0 ≤ x < 1 si solo si ‖x‖ = 0

- 1 ≤ x < 2 si solo si ‖x‖ = 1

- 2 ≤ x < 3 si solo si ‖x‖ = 2

Gráficamente:

3. FUNCION MONOTONA

Tenemos la siguiente función:

3.1. Función creciente

Sea f una función tal que si :

Ɐ X₁, X₂ ϵ dom f : x₁ < x₂ → f(x₁₎< f(x₂₎

Entonces f es una función creciente

3.2. Función decreciente

Sea f una función tal que si :

Ɐ X₁, X₂ ϵ dom f : x₁ < x₂ → f(x₁₎>f(x₂₎

Entonces f es una función decreciente

Ejemplo:

1. La función f talque f(x)= √x es creciente en su dominio

2. La función f talque f(x)= 2/x donde x > 0, es decreciente en su dominio

4. FUNCION PAR

Es cuando la función par es simétrica con respecto al eje Y
Su grafica no se altera luego de la reflexión sobre el eje Y

Gráficamente:

5. FUNCION IMPAR

Es cuando la función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas
La grafica no se altera luego de una rotación de 180ª alrededor de su origen.

Gráficamente:

6. FUNCION PERIODICA

Sea una función f , si Ɐ x ϵ domf(x) existe un real T≠0 talque (x+T) ϵ domf(x) y f(x+T)=f(x), decimos que f es una función periódica donde T es periodo de f.

Gráficamente:

Observamos que : f(x+T)=f(x)

PROPIEDADES SOBRE EL TRAZADO DE GRAFICA

VIDEO EXPLICATIVO DE FUNCIONES ESPECIALES PARTE 2

Sea f una función con regla de correspondencia y= f(x). A partir de la gráfica de f, construiremos la gráfica de otras funciones

1. POR REFLEXION

a. La grafica de g(x)=-f(x) se obtiene por reflexión de la gráfica de y=f(x) respecto al eje x comportándose este eje como un espejo.

b. La grafica de g(x) = f(-x) se obtiene por reflexión de la gráfica de y= f(x) respecto al eje Y, comportándose este eje como un espejo

2. POR DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL

a. La grafica de g(x)= f(x-h), h > 0 se obtiene desplazando horizontalmente a la derecha de la gráfica de y= f(x) en h unidades.

b. La grafica de g(x)= f(x+h), h > 0 se obtiene desplazando horizontalmente a la izquierda de la gráfica de y= f(x) en h unidades.

3. POR DESPLAZAMIENTO VERTICAL

a. La grafica de g(x)= f(x)+k , k > 0 se obtiene desplazando verticalmente hacia arriba la gráfica de y= f(x) en k unidades.

b. La grafica de g(x)= f(x)-k , k > 0 se obtiene desplazando verticalmente hacia abajo la gráfica de y= f(x) en k unidades.c.

4. POR DOBLE DESPLAZAMIENTO

Siendo h, k positivos se presenta los siguientes casos:

g(x)= f(x-h)+k

g(x)= f(x+h)+k

g(x)= f(x-h)-k

g(x)= f(x-h)+k

Vemos el siguiente caso g(x)= f(x-h)+k se obtiene desplazando horizontalmente a la derecha h unidades y verticalmente hacia arriba k unidades la gráfica de f(x).

5. POR APLICACIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Grafica de valor absoluto de f(x)

l f(x) l = f(x) ; f(x) ≥0

– f(x); f(x)<0

Sabemos que l f(x) l es mayor o igual que cero entonces la gráfica de y=f(x) se encuentra en el semiplano superior y ≥ 0 , y se obtiene reflejando hacia arriba del eje x la parte de la gráfica de y= f(x) que se encuentra debajo de este eje.