VALOR ABSOLUTO
1.
DEFINICIÓN
El valor absoluto de un número real x
es el número no negativo y lo denotaremos como lxl.
Ejemplo:
a) l5l = 5
b) l-5l = 5
c) l1-√2l = -1+√2
d) lx-2l = x-2; x≥2 y
-x+2 ; x<2
Ejemplo
Si x pertenece a <-2; 0>
, calcule la suma de los valores enteros de Z
2.
PROPIEDADES
Ɐ X; Y reales se cumple:
a) lxl = l-xl
b) lx2l = x2 =lxl2
c) √x2= lxl
d) – lxl ≤ x ≤ lxl
e) lx-yl = ly-xl
f) lx.yl = lxl.lyl
g) lx/yl = lxl/lyl , donde y≠0
h) lx+yl ≤ lxl + lyl
3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Es necesario saber algunos
teoremas para resolver ecuaciones con valor absoluto
a) lxl = a ↔ a ≥ 0 ^ (x=a v x=-a)
b) lxl =
lbl ↔ x=b v x=-b
Ejemplo:
lx-5l =2 ↔ 2 ≥ 0 ^ (x-5=2 v x-5=-2)
x=7 v x= 3
CS= [7; 3]
Ejemplo:
l2x-1l = l3x-5l
2x-1 = 3x-5 v
2x-1=-(3x-5)
X= 4 v
5x=6
X=4 v x= 6/5
CS= [4; 6/5]
Ejemplo:
X2-5lxl+6= 0
Resolvemos por factorización
X2-5lxl+6= 0
lXl -2
lXl -3
(lXl -2)(lXl – 3) = 0
lXl -2 = 0
v
lXl -3 = 0
(x=2 v x=-2 )
v (x=3
v x=-3 )
CS= [2;-2; 3;-3]
4.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver algunas
inecuaciones debemos tener presente algunos teoremas importantes.
a) lxl < b ↔ b > 0 ^ -b < x < b
b) lxl ≤ b ↔ b >
0 ^ -b ≤ x ≤ b
c) lxl > b ↔ x < -b v x >
b
d) lxl ≥ b ↔ x ≤ -b v x ≥ b
e) lxl ≥ lyl ↔ (x-y)(x+y)
≥ 0
Ejemplo:
lx-1l < 5 ↔ -5 < x-1 < 5
-5+1 <
x < 5+1
-4 < x < 6 CS= < -4 ; 6>
5. TEOREMA DE LA DESIGUALDAD TRIANGULAR
Dado los números a y b
reales se cumple:
la+bl ≤ lal + lbl
Colorario
a) l a+b l = lal
+lbl ↔ a.b ≥ 0
b) l a+b l < lal +lbl ↔ a.b < 0
6. METODO DE LOS PUNTO CRITICOS
Cuando se
presenta diversos valores absolutos podemos aplicar el método de la zona.
Ejemplo:
Tenemos la
siguiente inecuación:
X3-x+x2-1 ≥ 0
resuelve el conjunto solución
Solución
Factorizamos
X(x2 –
1)+ (x2-1) ≥ 0
(x2-1)(x+1) ≥
0
(x-1)(x+1)(x+1) ≥
0
(x-1)(x+1)2 ≥
0
CS= <-ꚙ ; 1 ]
